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【高中数学】高中数学知识归纳总结-必修三 第一章  算法初步

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1.1.1 算法的概念

1、算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.


2. 算法的特点:

(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.

(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.

(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.


1.1.2 程序框图

1、程序框图基本概念:

(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。

(二)构成程序框的图形符号及其作用


学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。


三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执B 框所指定的操作。


2、条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。


3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。




注意:

1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。

2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句


1、输入语句1)输入语句的一般格式



2、输出语句



3、赋值语句


122 条件语句


123 循环语句


2UNTIL 语句


1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代码。3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本,可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据,不要被铺天盖地的资料所淹没!


1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:(1):用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和一个余数 R0 ;(2):若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1;(3):若 R1=0,则 R1为 m,n的最大公约数;若 R1≠0,则用除数 R0 除以余数 R1得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;…… 依次计算直至 Rn =0,此时所得到的 Rn1 即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数.分析:(略)


3、辗转相除法与更相减损术的区别:(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到


1.3.2 秦九韶算法与排序


2、两种排序方法


1.3.3 进位制


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